1. а) Решите уравнение \(4\sin^2 x-8\sin x-5=0\). б) Укажите его корни, которые принадлежат промежутку \(\left[-\frac{11\pi}{2};-\frac{7\pi}{2}\right]\).

а) Положим \(t=\sin x\), где \(t\in[-1;1]\). Получаем квадратное уравнение:

\(4t^2-8t-5=0\),

\(D=(-8)^2-4\cdot4\cdot(-5)=144\), поэтому \(t=\frac{8\pm12}{8}\). Значения: \(t=\frac52\) и \(t=-\frac12\). Первое не подходит, так как синус не может быть больше 1. Значит, \(\sin x=-\frac12\), откуда

\(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

б) Проверим корни на заданном промежутке. При \(k=-3\) получаем \(-\frac{29\pi}{6}\) и \(-\frac{25\pi}{6}\); оба числа принадлежат \(\left[-\frac{33\pi}{6};-\frac{21\pi}{6}\right]\). Другие значения параметра не дают корней в этом промежутке.

Ответ: а) \(x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{29\pi}{6},-\frac{25\pi}{6}\).