4. а) Решите уравнение \(0.5\cos 2x-8\cos x-8.5=0\). б) Укажите его корни, которые принадлежат промежутку \(\left[4\pi;\frac{11\pi}{2}\right]\).

а) Положим \(t=\cos x\), где \(t\in[-1;1]\), и применим формулу \(\cos 2x=2\cos^2x-1\):

\(0.5(2t^2-1)-8t-8.5=0\),

\(t^2-8t-9=0\), то есть \((t-9)(t+1)=0\). Значение \(t=9\) не подходит; остаётся \(\cos x=-1\).

Следовательно, \(x=\pi+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).

б) Из этих корней заданному промежутку принадлежит только \(5\pi\).

Ответ: а) \(x=\pi+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(5\pi\).