3. а) Решите уравнение \(0.5\cos 2x+1.5\sqrt{3}\cos x-2.5=0\). б) Укажите его корни, которые принадлежат промежутку \([\pi;4\pi]\).

а) Используем формулу \(\cos 2x=2\cos^2x-1\) и положим \(t=\cos x\), где \(t\in[-1;1]\):

\(0.5(2t^2-1)+1.5\sqrt3t-2.5=0\),

\(t^2+1.5\sqrt3t-3=0\). Умножим на 2: \(2t^2+3\sqrt3t-6=0\). Дискриминант равен \(75\), поэтому \(t=\frac{-3\sqrt3\pm5\sqrt3}{4}\), то есть \(t=\frac{\sqrt3}{2}\) или \(t=-2\). Второе значение не подходит, так как \(\cos x\in[-1;1]\).

Значит, \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\), откуда \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{6}\), \(k\in\mathbb Z\).

б) На промежутке \([\pi;4\pi]\) находятся корни \(\frac{11\pi}{6},\frac{13\pi}{6},\frac{23\pi}{6}\).

Ответ: а) \(x=2\pi k\pm\frac{\pi}{6}\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(\frac{11\pi}{6},\frac{13\pi}{6},\frac{23\pi}{6}\).