1. ABCD — прямоугольник. Найдите OD и угол BOC. На рисунке AB = 6, AD = 12.

Диагональ прямоугольника: \(BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180}=6\sqrt5\).

Точка \(O\) — середина диагонали, поэтому \(OD=\dfrac{BD}{2}=3\sqrt5\).

Для угла \(BOC\) рассмотрим треугольник \(BOC\). Его стороны \(OB=OC=3\sqrt5\), а \(BC=AD=12\). По теореме косинусов:

\(\cos\angle BOC=\dfrac{OB^2+OC^2-BC^2}{2\cdot OB\cdot OC}=\dfrac{45+45-144}{90}=-\dfrac35\).

Следовательно, \(\angle BOC=\arccos\left(-\dfrac35\right)\approx126.9^\circ\).

Ответ: \(OD=3\sqrt5\); \(\angle BOC\approx126.9^\circ\).