1. AC — биссектриса. Найти углы трапеции ABCD.

Пусть ∠CAD = ∠BAC = x, поскольку AC — биссектриса угла A. По отметкам на чертеже AB = BC = CD, а ∠ACD = 90°.

В прямоугольном треугольнике ACD: ∠D = 90° − x.

Так как AD ∥ BC, внутренние односторонние углы C и D в сумме равны 180°, поэтому ∠C = 90° + x.

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, значит, углы BAC и ACB равны: ∠ACB = x. Тогда ∠B = 180° − 2x.

Из равенства BC = CD и теоремы синусов в треугольниках ABC и ACD получаем: BC = AC/(2 cos x), CD = AC · sin x. Следовательно, sin x = 1/(2 cos x), откуда sin 2x = 1. Так как x — острый угол, x = 45°.

Значит, ∠A = 2x = 90°, ∠B = 180° − 2x = 90°, ∠C = 90° + x = 135°, ∠D = 90° − x = 45°.

Ответ: ∠A = 90°, ∠B = 90°, ∠C = 135°, ∠D = 45°.