№1. $$\angle HPO = 68^{\circ}$$. $$\angle HTP = ?$$

Дано:

• Четырехугольник, вписанный в окружность.
• $$\angle HPO = 68^{\circ}$$

Найти: $$\angle HTP$$

Решение:

1. Свойство вписанного четырехугольника: Сумма противоположных углов равна 180°.
2. Рассмотрим углы: $$\angle HPO$$ и $$\angle HTO$$ — углы, опирающиеся на одну дугу $$HO$$. Следовательно, они равны: $$\angle HTO = \angle HPO = 68^{\circ}$$.
3. Применим свойство: Четырехугольник $$N H T P$$ вписан в окружность. Следовательно, сумма противоположных углов равна 180°. $$\angle HTP + \angle HNP = 180^{\circ}$$ и $$\angle THP + \angle TNP = 180^{\circ}$$.
4. Вспомогательное построение: Проведем диагональ $$HP$$.
5. Треугольник $$HPO$$: $$HO$$ — диаметр окружности, так как на него опирается прямой угол $$\angle HPO$$.
6. Углы в треугольнике $$HPO$$: $$\angle PHO = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 68^{\circ} = 22^{\circ}$$.
7. Углы, опирающиеся на дугу $$HP$$: $$\angle HTP = \angle HNP$$.
8. Углы, опирающиеся на дугу $$HT$$: $$\angle HPT = \angle HNT$$.
9. Недостаточно данных для однозначного решения. Графическое представление позволяет предположить, что $$HO$$ является диаметром, что дает $$\angle HPO = 90^{\circ}$$. Однако, это не указано в условии. Если предположить, что $$\angle HPO$$ - это угол, вписанный в окружность, то он опирается на дугу $$HO$$.

Ответ: Недостаточно данных для решения.