№2. $$\angle 1 = 74^{\circ}$$, $$\angle 2 = 56^{\circ}$$. Вычислите наименьший из оставшихся углов.

Дано:

• Вписанный четырехугольник.
• $$\angle 1 = 74^{\circ}$$
• $$\angle 2 = 56^{\circ}$$

Найти: Наименьший из оставшихся углов.

Решение:

1. Свойство вписанного четырехугольника: Противоположные углы вписанного четырехугольника равны 180° - данный угол.
2. Пусть углы четырехугольника: $$\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$$.
3. Сопоставим углы: Пусть $$\angle A = \angle 1 = 74^{\circ}$$ и $$\angle C = \angle 2 = 56^{\circ}$$.
4. Найдем противоположные углы:
• $$\angle B = 180^{\circ} - \angle D$$
• $$\angle D = 180^{\circ} - \angle B$$
5. Сумма углов четырехугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^{\circ}$$.
6. Подставим известные значения: $$74^{\circ} + \angle B + 56^{\circ} + \angle D = 360^{\circ}$$.
7. $$130^{\circ} + \angle B + \angle D = 360^{\circ}$$.
8. $$\angle B + \angle D = 360^{\circ} - 130^{\circ} = 230^{\circ}$$.
9. Из свойства вписанного четырехугольника: $$\angle B + \angle D = 180^{\circ}$$ (так как они противоположны).
10. Противоречие: $$230^{\circ}
    eq 180^{\circ}$$. Это означает, что углы 1 и 2 не являются противоположными.
11. Предположим, что углы являются соседними: Пусть $$\angle A = 74^{\circ}$$ и $$\angle B = 56^{\circ}$$.
12. Найдем противоположные углы:
• $$\angle C = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 74^{\circ} = 106^{\circ}$$.
• $$\angle D = 180^{\circ} - \angle B = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ}$$.
13. Оставшиеся углы: $$106^{\circ}$$ и $$124^{\circ}$$.
14. Сравним все углы: $$74^{\circ}, 56^{\circ}, 106^{\circ}, 124^{\circ}$$.
15. Наименьший угол: $$56^{\circ}$$.

Ответ: 56°.