1. Базовые понятия и обозначения. Дан тетраэдр DABC. Точка E лежит на ребре DA, точка F — на ребре BC. а) Запишите с помощью знаков ∈, ⊂, ∩: пересечение прямой EF и плоскости ABC, пересечение плоскостей DAB и DBC. б) Сколько различных плоскостей можно провести через прямую EF и точку C? Ответ обоснуйте, опираясь на аксиомы.

а) Так как F лежит на ребре BC, то F принадлежит плоскости ABC. При обычном положении E на ребре DA, когда E не принадлежит плоскости ABC, прямая EF пересекает плоскость ABC в точке F: EF ∩ (ABC) = {F}. Плоскости DAB и DBC имеют общую прямую DB: (DAB) ∩ (DBC) = DB.

б) Если F ≠ C, то C не лежит на прямой EF: иначе прямая EF совпала бы с прямой EC и пересекла бы ребро BC в двух точках F и C. Через прямую и точку, не лежащую на ней, проходит единственная плоскость. Значит, можно провести одну плоскость.

Если допускается F = C, то C лежит на EF, и через эту прямую можно провести бесконечно много плоскостей. Поэтому ответ зависит от того, допускается ли совпадение F и C.