1. Частные приращения и определение частных производных 1-го порядка. Их свойства.

1. Частные приращения и частные производные

Частное приращение функции нескольких переменных по одной из них — это изменение значения функции при изменении только одной независимой переменной, когда остальные остаются постоянными.

Для функции \( z = f(x, y) \) частное приращение по \( x \) при постоянном \( y \) обозначается \( \Delta_x z \) и вычисляется как \( \Delta_x z = f(x + \Delta x, y) - f(x, y) \).

Аналогично, частное приращение по \( y \) при постоянном \( x \) обозначается \( \Delta_y z \) и вычисляется как \( \Delta_y z = f(x, y + \Delta y) - f(x, y) \).

Частная производная функции нескольких переменных по одной из них — это предел отношения частного приращения функции по этой переменной к её приращению, когда приращение стремится к нулю.

Частная производная функции \( z = f(x, y) \) по \( x \) обозначается \( \frac{\partial z}{\partial x} \) или \( f'_x(x, y) \) и вычисляется как:

\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta_x z}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} \]

Частная производная по \( y \) обозначается \( \frac{\partial z}{\partial y} \) или \( f'_y(x, y) \) и вычисляется как:

\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta_y z}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} \]

Свойства частных производных:

• Частные производные существуют не для всех функций.
• Если частные производные существуют, они могут быть вычислены как обычные производные, рассматривая остальные переменные как константы.
• Частные производные могут быть непрерывными или разрывными.
• Смешанные частные производные (производные от частных производных) равны, если они непрерывны (теорема Клеро).