3. Вычислить предел: b) lim (x^2 + x - 12) / (x^2 - 5x + 6) при x -> 3

3. Вычисление пределов

b) \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + x - 12}{x^2 - 5x + 6} \)

1. Подстановка:

Подставим \( x = 3 \) в выражение:

\[ \frac{3^2 + 3 - 12}{3^2 - 5 \cdot 3 + 6} = \frac{9 + 3 - 12}{9 - 15 + 6} = \frac{0}{0} \]

Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0} \).

2. Раскрытие неопределенности:

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: \( x^2 + x - 12 \)

Найдем корни уравнения \( x^2 + x - 12 = 0 \):

\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \]

\( x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \).

Значит, \( x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4) \).

Знаменатель: \( x^2 - 5x + 6 \)

Найдем корни уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \):

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \]

\( x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \).

Значит, \( x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) \).

3. Сокращение и вычисление предела:

\[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 4)}{(x - 3)(x - 2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 4}{x - 2} \]

Теперь подставим \( x = 3 \) в упрощенное выражение:

\[ \frac{3 + 4}{3 - 2} = \frac{7}{1} = 7 \]

Ответ: 7.