2. Предел функции, его свойства. Раскрытие неопределенностей.

2. Предел функции и его свойства. Раскрытие неопределенностей.

Предел функции

Число \( A \) называется пределом функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \), если для любого \( \epsilon > 0 \) существует такое \( \delta > 0 \), что для всех \( x \), удовлетворяющих условию \( 0 < |x - x_0| < \delta \), выполняется неравенство \( |f(x) - A| < \epsilon \).

Это записывается как \( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \).

Свойства пределов

Пусть существуют пределы функций \( f(x) \) и \( g(x) \) в точке \( x_0 \). Тогда:

• Сумма: \( \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) + \lim_{x \to x_0} g(x) \)
• Разность: \( \lim_{x \to x_0} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) - \lim_{x \to x_0} g(x) \)
• Произведение: \( \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to x_0} f(x) \cdot \lim_{x \to x_0} g(x) \)
• Частное: \( \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to x_0} f(x)}{\lim_{x \to x_0} g(x)} \), если \( \lim_{x \to x_0} g(x) \neq 0 \).
• Умножение на константу: \( \lim_{x \to x_0} (c \cdot f(x)) = c \cdot \lim_{x \to x_0} f(x) \)
• Предел степенной функции: \( \lim_{x \to x_0} (f(x))^n = (\lim_{x \to x_0} f(x))^n \)

Неопределенности

Неопределенности — это формы, возникающие при вычислении пределов, которые нельзя сразу определить по свойствам пределов. Основные неопределенности:

• \( \frac{0}{0} \)
• \( \frac{\infty}{\infty} \)
• \( 0 \cdot \infty \)
• \( \infty - \infty \)
• \( 1^{\infty} \)
• \( 0^0 \)
• \( \infty^0 \)

Методы раскрытия неопределенностей

• Для \( \frac{0}{0} \) и \( \frac{\infty}{\infty} \) (для алгебраических дробей):
• Разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общий множитель.
• Использовать правило Лопиталя (если частные производные существуют и предел отношения частных производных существует).
• Умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение (для иррациональных выражений).
• Для \( 0 \cdot \infty \) и \( \infty - \infty \):
• Преобразовать выражение к виду \( \frac{0}{0} \) или \( \frac{\infty}{\infty} \).
• Для \( 1^{\infty} \), \( 0^0 \), \( \infty^0 \):
• Использовать логарифмирование.
• Применить замечательные пределы (например, \( \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e \)).