1. $$\cup AC=135^{\circ}, \cup CB=145^{\circ}$$, O — центр окружности (рис. 1). Тогда: a) $$\cup AB=80^{\circ}; \angle \alpha=80^{\circ}; \angle \beta=40^{\circ}$$; б) $$\cup AB=20^{\circ}; \angle \alpha=40^{\circ}; \angle \beta=40^{\circ}$$; в) $$\cup AB=90^{\circ}; \angle \alpha=45^{\circ}; \angle \beta=980^{\circ}$$; г) $$\cup AB=80^{\circ}; \angle \alpha=40^{\circ}; \angle \beta=80^{\circ}$$.

Решение:

1. Определение угла $$\angle ABC$$:

• Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
• $$\\angle AOC = 135^{\circ}$$
• $$\\angle BOC = 145^{\circ}$$
• $$\\angle AOB = 360^{\circ} - 135^{\circ} - 145^{\circ} = 80^{\circ}$$

2. Определение углов $$\\alpha$$ и $$\\beta$$:

• Угол $$\\alpha$$ — это центральный угол, опирающийся на дугу AB, поэтому $$\\alpha = \angle AOB = 80^{\circ}$$.
• Угол $$\\beta$$ — это центральный угол, опирающийся на дугу AB, но он также является смежным к углу $$\\angle AOB$$ (или является частью полного угла). В данном случае, судя по рисунку, $$\\beta$$ является углом, смежным с $$\\angle AOB$$, или углом, который составляет полную окружность вместе с $$\\angle AOC$$ и $$\\angle BOC$$ (неполный оборот). Если $$\\beta$$ — это угол, соответствующий дуге AB, но лежащий по другую сторону от центра, то $$\\beta = 360^{\circ} - 80^{\circ} = 280^{\circ}$$. Однако, по рисунку $$\\beta$$ является острым углом, что говорит о другом толковании.
• Предположим, что $$\\alpha$$ и $$\\beta$$ — это центральные углы, опирающиеся на дугу AB, но из разных сторон. Угол $$\\alpha$$ опирается на дугу AB, равную $$80^{\circ}$$, так что $$\\alpha = 80^{\circ}$$. Угол $$\\beta$$ также опирается на дугу AB. Если $$\\beta$$ — это центральный угол, то он должен быть равен дуге AB.
• Анализ вариантов:
• а) $$\\cup AB=80^{\circ}; \\angle \\alpha=80^{\circ}; \\angle \\beta=40^{\circ}$$; $$\\alpha$$ совпадает с вычисленным углом $$\\angle AOB$$. $$\\beta=40^{\circ}$$ не соответствует ни одному очевидному вычислению, связанному с дугой AB.
• б) $$\\cup AB=20^{\circ}; \\angle \\alpha=40^{\circ}; \\angle \\beta=40^{\circ}$$; $$\\cup AB$$ не совпадает с вычисленным.
• в) $$\\cup AB=90^{\circ}; \\angle \\alpha=45^{\circ}; \\angle \\beta=980^{\circ}$$; $$\\cup AB$$ не совпадает с вычисленным. $$\\beta=980^{\circ}$$ невозможно, так как угол не может превышать $$360^{\circ}$$.
• г) $$\\cup AB=80^{\circ}; \\angle \\alpha=40^{\circ}; \\angle \\beta=80^{\circ}$$. $$\\cup AB$$ совпадает с вычисленным. $$\\alpha=40^{\circ}$$ не совпадает с $$\\angle AOB=80^{\circ}$$.
• Исходя из вычислений, $$\\cup AB = 80^{\circ}$$ и $$\\alpha = 80^{\circ}$$. Вариант 'а' имеет $$\\cup AB=80^{\circ}$$ и $$\\angle \\alpha=80^{\circ}$$. Угол $$\\beta=40^{\circ}$$ остается необъясненным в рамках простых геометрических соотношений, если $$\\beta$$ — это центральный угол. Возможно, $$\\beta$$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу, равную половине дуги AB (т.е. $$40^{\circ}$$), или же $$\\beta$$ относится к другому углу на рисунке, не обозначенному явно. Однако, поскольку $$\\alpha$$ и $$\\beta$$ обозначены рядом с центром O, они, скорее всего, являются центральными углами.
• Пересмотр: Если $$\\alpha$$ и $$\\beta$$ — это части угла, составляющего $$135^{\circ}$$ или $$145^{\circ}$$, или же они связаны с каким-то другим центральным углом, то логика меняется. Но по расположению на рисунке $$\\alpha$$ и $$\\beta$$ относятся к центру O.
• Наиболее вероятное объяснение: $$\\angle AOB = 80^{\circ}$$. $$\\alpha$$ — центральный угол, значит $$\\alpha = 80^{\circ}$$. $$\\beta$$ — возможно, смежный угол к $$\\alpha$$, или же угол, который вместе с $$\\alpha$$ составляет $$120^{\circ}$$ (неочевидно). Если предположить, что $$\\beta$$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу, равную $$80^{\circ}$$, то $$\\beta$$ был бы $$40^{\circ}$$. Но $$\\beta$$ обозначен у центра.
• Окончательный вывод по вариантам: Только вариант 'а' имеет $$\\cup AB = 80^{\circ}$$ и $$\\angle \\alpha = 80^{\circ}$$. Значение $$\\angle \\beta = 40^{\circ}$$ в варианте 'а' может быть ошибкой в условии или рисунке, либо относится к другой части задачи. Исходя из данных, $$\\alpha$$ совпадает с $$\\angle AOB$$.

Ответ: а) $$\\cup AB=80^{\circ}; \\angle \\alpha=80^{\circ}; \\angle \\beta=40^{\circ}$$;