5. Из точки А к окружности, радиус которой 13 см, проведены касательная и секущая. Длина отрезка касательной равна 9 см. Найдите длину секущей, если она удалена от центра на 5 см.

Решение:

1. Анализ условия:

• Из точки А к окружности проведены касательная и секущая.
• Длина касательной от точки А до точки касания (обозначим точку касания как T) равна AT = 9 см.
• Радиус окружности R = 13 см.
• Расстояние от центра окружности (обозначим как O) до секущей равно 5 см.
• Нужно найти длину всей секущей, проведенной из точки А.

2. Использование свойств касательной:

• Касательная AT перпендикулярна радиусу OT. Треугольник OAT — прямоугольный, с гипотенузой OA.
• По теореме Пифагора: $$\\text{OA}^2 = \\text{OT}^2 + \\text{AT}^2$$
• $$\\text{OA}^2 = 13^2 + 9^2$$
• $$\\text{OA}^2 = 169 + 81$$
• $$\\text{OA}^2 = 250$$
• $$\\text{OA} = \\sqrt{250} = 5 \\sqrt{10}$$ см.

3. Использование свойств секущей:

• Пусть секущая из точки А пересекает окружность в точках M и N, причем M — ближайшая к А точка, N — самая дальняя.
• Длина секущей — MN. Нам нужно найти MN.
• По теореме о секущей и касательной, произведение отрезков секущей равно квадрату отрезка касательной:
• $$\\text{AM} \\times \\text{AN} = \\text{AT}^2$$
• $$\\text{AM} \\times \\text{AN} = 9^2 = 81$$
• Пусть секущая проходит через центр окружности. Тогда расстояние от центра до секущей равно 0, что противоречит условию (5 см).
• Пусть секущая — это хорда MN. Расстояние от центра O до хорды MN равно 5 см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный центром O, серединой хорды MN (обозначим как P) и точкой M (или N).
• OP = 5 см (расстояние от центра до секущей, то есть до хорды MN).
• OM = R = 13 см (радиус).
• По теореме Пифагора в треугольнике OPM: $$\\text{OP}^2 + \\text{PM}^2 = \\text{OM}^2$$
• $$5^2 + \\text{PM}^2 = 13^2$$
• $$25 + \\text{PM}^2 = 169$$
• $$\\text{PM}^2 = 169 - 25 = 144$$
• $$\\text{PM} = \\sqrt{144} = 12$$ см.
• Длина хорды MN = 2 * PM = 2 * 12 см = 24 см.
• Теперь у нас есть:
• $$\\text{AM} \\times \\text{AN} = 81$$
• $$\\text{AN} = \\text{AM} + \\text{MN} = \\text{AM} + 24$$
• Подставим: $$\\text{AM} \\times (\\text{AM} + 24) = 81$$
• $$\\text{AM}^2 + 24 \\text{AM} - 81 = 0$$
• Это квадратное уравнение для AM. Решим его.
• Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 24^2 - 4 \\times 1 \\times (-81) = 576 + 324 = 900$$
• $$\\sqrt{D} = 30$$
• $$\\text{AM} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{D}}{2a} = \\frac{-24 \\pm 30}{2}$$
• Так как AM — длина, она должна быть положительной.
• $$\\text{AM} = \\frac{-24 + 30}{2} = \\frac{6}{2} = 3$$ см.
• Проверим: AN = AM + MN = 3 + 24 = 27 см.
• AM * AN = 3 * 27 = 81. Это верно.
• Длина секущей — это длина всей хорды, которая является частью секущей. В данном контексте, 'длина секущей' обычно означает полную длину от внешней точки до дальнейшей точки пересечения с окружностью (AN), или же длину самой хорды (MN). Если имеется в виду длина хорды, то это 24 см. Если имеется в виду отрезок AN, то 27 см.
• Учитывая, что AM — это отрезок от внешней точки до ближней точки окружности, а AN — до дальней, и MN — сама хорда, то 'длина секущей' может означать AN.
• Однако, чаще под 'длиной секущей' понимают длину хорды.
• Перечитываем условие: "Найдите длину секущей, если она удалена от центра на 5 см".
• Секущая — это прямая, пересекающая окружность в двух точках. Длина секущей обычно относится к отрезку от внешней точки до дальнего пересечения.
• Если AM = 3 см, AN = 27 см, то длина секущей AN = 27 см.
• Если под 'длиной секущей' имеется в виду хорда MN, то 24 см.
• Рассмотрим OA = $$5 \\sqrt{10}$$ ≈ $$5 \\times 3.16$$ ≈ 15.8 см.
• Если расстояние от центра до секущей = 5 см, это расстояние до хорды MN.
• AM = 3 см, AN = 27 см.
• Длина секущей AN = 27 см.

Ответ: 27 см