1°. Дан четырехугольник ABCD, в котором диагонали имеют общую середину. На продолжении стороны AD за вершину D взята точка E, DC = EC. Докажите, что четырехугольник ABCE является равнобедренной трапецией.

1. Если диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам, то четырехугольник является параллелограммом. Поэтому AB ∥ CD и AB = CD.
2. Точки A, D и E лежат на одной прямой, значит AE ∥ CD. Следовательно, AB ∥ AE? Это неверно: параллельные стороны в четырехугольнике ABCE — AB и CE нужно установить отдельно. Вместо этого используем стороны BC и AE: так как ABCD — параллелограмм, BC ∥ AD, а AD лежит на AE. Значит, BC ∥ AE.
3. Из AB = CD и условия CD = EC следует AB = EC. В четырехугольнике ABCE стороны BC и AE параллельны, а боковые стороны AB и CE равны.

Следовательно, ABCЕ — равнобедренная трапеция с основаниями BC и AE.