3. В ромбе ABCD точка O является центром симметрии, а точки P и K принадлежат сторонам AB и BC соответственно так, что OP ∥ BC; OK ∥ AB. а) Определите вид выпуклого четырехугольника OPBK. б) Найдите угол BCA, если угол BPK равен 40°.

а) Так как O — центр симметрии ромба, это точка пересечения диагоналей. Поскольку диагонали ромба делятся пополам, из условий OP ∥ BC и OK ∥ AB получаем, что P и K — середины AB и BC соответственно. В четырехугольнике OPBK противоположные стороны попарно параллельны: OP ∥ BK и PB ∥ OK. Значит, OPBK — параллелограмм.

б) Условие об угле 40° противоречит остальным данным. Действительно, в ромбе треугольник ABC равнобедренный: AB = BC. Обозначим угол ABC через β. Поскольку P и K — середины AB и BC, треугольник BPK подобен треугольнику BAC с коэффициентом 1/2, поэтому угол BPK равен углу BAC. Угол BAC равен (180° − β)/2. Однако вычислить угол BCA по одному этому условию нельзя без согласования с углом BPK: при данных условиях угол BPK должен быть больше 90° (для невырожденного ромба). Следовательно, значение 40° невозможно.

Ответ: а) параллелограмм; б) такого ромба с углом BPK = 40° не существует.