1) Дана окружность. BD - диаметр, хорды BA, BC. Доказать, что ∠ABD = ∠DBC

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABD: Так как BD - диаметр, то угол ∠BAD опирается на диаметр и, следовательно, равен 90°. Треугольник ABD - прямоугольный.
2. Рассмотрим треугольник BCD: Аналогично, угол ∠BCD опирается на диаметр BD, поэтому треугольник BCD - прямоугольный.
3. Равенство углов: Углы ∠ABD и ∠DBC являются частями диагональных углов при вершине B. Однако, без дополнительных условий (например, равенства хорд AB и BC) доказать равенство этих углов невозможно. Задача, вероятно, подразумевает, что AB = BC, или что BD является биссектрисой угла ABC. Если предположить, что AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании AC равны. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Дуга AD равна дуге CD, если AB=BC. Угол ∠ABD опирается на дугу AD, а угол ∠DBC опирается на дугу CD. Следовательно, если дуги равны, то и углы равны.

Чтобы строго доказать равенство углов ∠ABD = ∠DBC, необходимо условие, что хорды AB и BC равны, или что диаметр BD делит угол ABC пополам.