3) Радиус ОМ пересекается с хордой АС в точке Р, при этом АР=РС. Доказать, что радиус и хорда перпендикулярны

Решение:

1. Дано: Окружность с центром О, радиус ОМ, хорда АС, точка пересечения Р. АР = РС.
2. Что нужно доказать: ОМ ⊥ АС.
3. Рассмотрим треугольник АОС: OA и OC - радиусы окружности, значит OA = OC. Следовательно, треугольник АОС - равнобедренный.
4. Точка Р: По условию, Р - середина хорды АС (АР = РС).
5. Свойство равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой.
6. Рассмотрим отрезок OP: Отрезок OP является медианой, так как Р - середина АС.
7. Вывод: Так как OP - медиана к основанию равнобедренного треугольника АОС, то OP является и высотой. Следовательно, OP ⊥ АС. Поскольку ОМ - это прямая, содержащая отрезок OP, то ОМ ⊥ АС.

Что и требовалось доказать.