1) Дана трапеция ABCD, AD ∥ BC. BK и CH — высоты, K,H ∈ AD. AH = KD. Докажите: ∠ABC = ∠DCB.

Так как точки A, K, H, D расположены на одной прямой, из равенства AH = KD и разложения отрезков получаем:

AH = AK + KH, KD = KH + HD, поэтому AK = HD.

BK и CH — высоты трапеции, следовательно, BK = CH: это расстояние между параллельными прямыми AD и BC.

Треугольники ABK и DCH прямоугольные; у них AK = HD и BK = CH. Значит, они равны по двум катетам, поэтому ∠ABK = ∠DCH.

Поскольку BK и CH перпендикулярны BC, углы ABC и DCB состоят из прямого угла и соответственно углов ABK и DCH. Следовательно, ∠ABC = ∠DCB.

Ответ: ∠ABC = ∠DCB.