4) Дана равнобедренная трапеция ABCD: AD = b, BC = a, AB = CD, диагонали AC и BD перпендикулярны. CH = h — высота. Докажите, что \(h=\dfrac{a+b}{2}\).

Расположим равнобедренную трапецию симметрично относительно вертикальной оси. Тогда можно задать координаты вершин так: \(A=(-b/2,0)\), \(D=(b/2,0)\), \(B=(-a/2,h)\), \(C=(a/2,h)\). Это возможно, поскольку боковые стороны равны, а основания параллельны.

Направляющие векторы диагоналей AC и BD имеют координаты \(\left(\dfrac{a+b}{2},h\right)\) и \(\left(\dfrac{a+b}{2},-h\right)\).

Так как диагонали перпендикулярны, скалярное произведение этих векторов равно нулю:

\[\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-h^2=0.\]

Высота h положительна, поэтому из равенства квадратов получаем \(h=\dfrac{a+b}{2}\).

Ответ: \(h=\dfrac{a+b}{2}\).