3) Дана трапеция ABCD, AD ∥ BC; ∠A = 30°, ∠D = 60°, BC = a, AD = b, CD = l. Докажите, что b − a = l.

Утверждение в условии неверно: из данных следует \(b-a=2l\), а не \(b-a=l\).

Опустим перпендикуляры из B и C на AD. Обозначим высоту трапеции через h, горизонтальные проекции боковых сторон — через x и y. Тогда из прямоугольных треугольников:

\(x=h\cot 30^\circ=\sqrt{3}h\), \(y=h\cot 60^\circ=\dfrac{h}{\sqrt{3}}\).

Так как основания параллельны, \(b-a=x+y=\sqrt{3}h+\dfrac{h}{\sqrt{3}}=\dfrac{4h}{\sqrt{3}}\).

В прямоугольном треугольнике у вершины D сторона CD = l — гипотенуза, а высота h лежит напротив угла 60°. Поэтому \(h=l\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}l\). Подстановка даёт:

\(b-a=\dfrac{4}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}l=2l\).

Таким образом, доказать заявленное равенство нельзя: при невырожденной трапеции данные приводят к \(b-a=2l\). Вероятно, в условии опечатка.