2) Дана трапеция ABCD, AD ∥ BC; диагонали AC и BD пересекаются в точке O. AO = OD. Докажите: AB = CD.

Из подобия треугольников AOD и COB, вызванного параллельностью AD и BC и вертикальными углами при O, следует:

\(\dfrac{AO}{OC}=\dfrac{DO}{OB}\).

Так как AO = DO, из пропорции получаем OC = OB. Значит, диагонали равны: AC = AO + OC = DO + OB = DB.

Обозначим длины оснований AD = d и BC = c, а высоту трапеции — h. Выберем координаты A = (0, 0), D = (d, 0), B = (x, h), C = (x+c, h). Равенство диагоналей даёт:

\(AC^2=DB^2\), то есть \((x+c)^2+h^2=(d-x)^2+h^2\).

Поскольку длины положительны, получаем \(x+c=d-x\), или \(d-x-c=x\). Теперь:

\(AB^2=x^2+h^2\), а \(CD^2=(d-x-c)^2+h^2=x^2+h^2\). Следовательно, \(AB^2=CD^2\), откуда AB = CD.

Ответ: AB = CD.