1. Дано: A(4; −5), B(−8; −6), C(5; 9). Найти: а) координаты вектора \(\overrightarrow{AC}\); б) длину вектора \(\overrightarrow{BC}\); в) координаты середины отрезка AB; г) периметр треугольника ABC; д) длину медианы CM.

1. а) Координаты вектора находим как разность координат конца и начала: \(\overrightarrow{AC}=(5-4;\,9-(-5))=(1;14)\).

2. б) \(\overrightarrow{BC}=(5-(-8);\,9-(-6))=(13;15)\). Его длина: \(|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{13^2+15^2}=\sqrt{394}\).

3. в) Координаты середины отрезка — полусуммы координат концов: \(M_{AB}=\left(\frac{4+(-8)}2;\frac{-5+(-6)}2\right)=(-2; -\frac{11}{2})\).

4. г) Длины сторон: \(AB=\sqrt{(-8-4)^2+(-6+5)^2}=\sqrt{145}\), \(BC=\sqrt{394}\), \(CA=\sqrt{(4-5)^2+(-5-9)^2}=\sqrt{197}\). Поэтому \(P_{ABC}=\sqrt{145}+\sqrt{394}+\sqrt{197}\).

5. д) Медиана CM проведена к середине стороны AB, поэтому её конец \(M=(-2; -\frac{11}{2})\). Тогда \(CM=\sqrt{(-2-5)^2+(-\frac{11}{2}-9)^2}=\sqrt{49+\frac{841}{4}}=\frac{\sqrt{1037}}2\).

Ответ: а) (1; 14); б) \(\sqrt{394}\); в) (−2; −11/2); г) \(\sqrt{145}+\sqrt{394}+\sqrt{197}\); д) \(\sqrt{1037}/2\).