3. Найдите координаты точки, принадлежащей оси Oz и одинаково удалённой от точек M(−1; −2; 0) и N(3; 0; 4).

Точка на оси Oz имеет вид \(P=(0;0;z)\). Приравняем квадраты расстояний до M и N:

\(PM^2=1^2+2^2+z^2=5+z^2\), \(PN^2=(-3)^2+z^2+(z-4)^2\) — здесь координатная разность по третьей оси равна \(z-4\), поэтому точнее \(PN^2=3^2+z^2+(z-4)^2\) не применяется: для P=(0,0,z), N=(3,0,4) имеем \(PN^2=9+(z-4)^2\).

Из равенства \(5+z^2=9+(z-4)^2\) получаем \(5=25-8z\), откуда \(z=\frac52\).

Ответ: \(P=(0;0;\frac52)\).