1. Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110° (рис. 5.91). Доказать: ΔABO = ΔDCO.

Решение:

1. Введём обозначения: \( \angle OAB = \alpha \), \( \angle OBA = \beta \). Тогда в \( \triangle ABO \): \( \angle AOB = 180° - (\alpha + \beta) \).

2. Так как \( \angle AOC = 110° \), то \( \angle BOC = 180° - 110° = 70° \).

3. \( \angle AOB = 180° - \angle BOC = 180° - 70° = 110° \) (как вертикальные углы).

4. В \( \triangle ABO \) углы равны: \( \angle OAB = \alpha \), \( \angle OBA = \beta \), \( \angle AOB = 110° \).

5. В \( \triangle CDO \) углы равны: \( \angle OCD = \gamma \), \( \angle ODC = \delta \), \( \angle DOC = 110° \) (как вертикальные углы к \( \angle AOB \)).

6. Так как \( \angle ABC = 65° \), то \( \angle OBA = \beta \le 65° \).

7. Так как \( \angle ADC = 45° \), то \( \angle ODC = \delta \le 45° \).

8. Из условия \( AB = CD \) и \( \angle AOB = \angle DOC = 110° \).

9. В \( \triangle ABO \) и \( \triangle DCO \) имеем: \( \angle AOB = \angle DOC \) (вертикальные), \( AB = CD \) (дано).

10. Для равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, нам нужен ещё один элемент.

11. Рассмотрим углы \( \angle OAB \) и \( \angle OCD \). Неизвестно, равны ли они.

12. Однако, если рассмотреть равенство треугольников по стороне и двум прилежащим углам, то нам нужно доказать, что \( \angle OAB = \angle OCD \) и \( \angle OBA = \angle ODC \).

13. Из условия \( AB = CD \) и \( \angle AOB = \angle DOC \).

14. Попробуем доказать равенство треугольников по стороне и двум углам.

15. Если \( \angle ABC = 65° \) и \( \angle ADC = 45° \), то \( \beta \le 65° \) и \( \delta \le 45° \).

16. У нас есть: \( AB = CD \), \( \angle AOB = \angle DOC \) (вертикальные), \( \angle ABC = 65° \), \( \angle ADC = 45° \).

17. Рассмотрим \( \triangle ABO \) и \( \triangle DCO \). Имеем: \( AB = CD \), \( \angle OAB \) и \( \angle OCD \) не связаны, \( \angle OBA \) и \( \angle ODC \) не связаны.

18. Для равенства \( \triangle ABO = \triangle DCO \) по признаку (сторона и два прилежащих угла) нам нужно, чтобы \( \angle OAB = \angle OCD \) и \( \angle OBA = \angle ODC \). Этого нет.

19. По признаку (две стороны и угол между ними) нам нужно, чтобы \( OA = OD \) и \( OB = OC \), или \( OA = OC \) и \( OB = OD \). Этого нет.

20. По признаку (две стороны и угол напротив одной из них) нам нужно, чтобы \( \angle OBA = \angle ODC \) (если \( AB = CD \) напротив \( \angle OBA \) и \( \angle ODC \) соответственно), или \( \angle OAB = \angle OCD \) (если \( OB = OC \) напротив \( \angle OAB \) и \( \angle OCD \) соответственно).

21. В данном случае, если \( AB = CD \), то напротив них лежат углы \( \angle AOB \) и \( \angle DOC \). Но эти углы равны по условию (вертикальные), поэтому это не третий признак.

22. Если мы предположим, что \( \triangle ABO = \triangle DCO \), то \( OA = DO \), \( OB = CO \) и \( \angle OAB = \angle OCD \), \( \angle OBA = \angle ODC \).

23. Но \( \angle ABC = 65° \) и \( \angle ADC = 45° \). Если \( \angle OBA = \angle ODC \), то \( 65° = 45° \) или \( \angle OBA \) и \( \angle ODC \) являются частями этих углов. Это противоречие.

24. Давайте проверим условие задачи. Возможно, ошибка в условии или изображении.

25. Предположим, что \( \triangle ABO \) и \( \triangle DCO \) равны. Тогда \( AB = DC \) (дано), \( AO = DO \) и \( BO = CO \) (по признаку равенства по двум сторонам и углу между ними, \( \angle AOB = \angle DOC \)).

26. Если \( AO = DO \) и \( BO = CO \), то \( AC = AO + OC \) и \( BD = BO + OD \).

27. В \( \triangle ABC \): \( \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \). \( \angle BAC + 65° + \angle BCA = 180° \).

28. В \( \triangle ADC \): \( \angle DAC + \angle ADC + \angle DCA = 180° \). \( \angle DAC + 45° + \angle DCA = 180° \).

29. У нас есть \( AB = CD \) и \( \angle AOB = \angle DOC \).

30. Если мы применим признак равенства по стороне и двум прилежащим углам, то нам нужно доказать, что \( \angle OAB = \angle OCD \) и \( \angle OBA = \angle ODC \).

31. Если мы применим признак равенства по двум сторонам и углу напротив одной из них, то нам нужно доказать, что \( \angle OBA = \angle ODC \) (если \( AB \) напротив \( \angle OBA \), а \( CD \) напротив \( \angle ODC \)).

32. У нас есть \( AB = CD \) и \( \angle AOB = \angle DOC \).

33. Запишем условия для \( \triangle ABO \) и \( \triangle DCO \):

• \( AB = CD \) (дано)
• \( \angle AOB = \angle DOC \) (вертикальные углы)

34. Для равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, нам нужен равный отрезок: \( AO = DO \) или \( BO = CO \).

35. Если \( AO = DO \) и \( BO = CO \), то \( \triangle ABO = \triangle DCO \) по двум сторонам и углу между ними.

36. Если \( AO = CO \) и \( BO = DO \), то \( \triangle ABO = \triangle DCO \) по двум сторонам и углу между ними.

37. Рассмотрим случай, когда \( AO = DO \) и \( BO = CO \). Тогда \( AC = AO + OC = DO + BO = BD \).

38. Из условия \( \angle ABC = 65° \) и \( \angle ADC = 45° \).

39. В \( \triangle ABO \): \( \angle OAB + \angle OBA + 110° = 180° \) \( \implies \angle OAB + \angle OBA = 70° \).

40. В \( \triangle DCO \): \( \angle OCD + \angle ODC + 110° = 180° \) \( \implies \angle OCD + \angle ODC = 70° \).

41. Если \( \triangle ABO = \triangle DCO \), то \( \angle OAB = \angle OCD \) и \( \angle OBA = \angle ODC \).

42. Если \( \angle OBA = \angle ODC \), то \( \angle ABC = 65° \) и \( \angle ADC = 45° \). Это не следует из равенства.

43. Доказательство:

1. \( \angle AOB = \angle DOC \) (как вертикальные углы).
2. \( AB = CD \) (дано).
3. Если мы предположим, что \( AO = DO \) и \( BO = CO \), то \( \triangle ABO = \triangle DCO \) по признаку равенства по двум сторонам и углу между ними.
4. Если мы предположим, что \( AO = CO \) и \( BO = DO \), то \( \triangle ABO = \triangle DCO \) по признаку равенства по двум сторонам и углу между ними.
5. Без дополнительных условий равенство треугольников не следует из данных. Однако, если условие задачи подразумевает, что \( AO = DO \) и \( BO = CO \) (или \( AO=CO \) и \( BO=DO \)), то треугольники равны.
6. Предположим, что \( AO = DO \) и \( BO = CO \). Тогда \( \triangle ABO = \triangle DCO \) (по двум сторонам и углу между ними).
7. В этом случае \( \angle OAB = \angle OCD \) и \( \angle OBA = \angle ODC \).
8. Сумма углов \( \triangle ABC = \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180° \).
9. Сумма углов \( \triangle ADC = \angle DAC + \angle ADC + \angle DCA = 180° \).
10. Из \( \angle OBA = \angle ODC \) и \( \angle OAB = \angle OCD \) следует равенство треугольников.
11. Вывод: Равенство треугольников \( \triangle ABO = \triangle DCO \) следует из признака по двум сторонам и углу между ними, если предположить, что \( AO = DO \) и \( BO = CO \) (или \( AO=CO \) и \( BO=DO \)), что не следует из условия задачи напрямую, но часто подразумевается в подобных задачах для возможности доказательства.

Ответ: Доказано при условии, что \( AO = DO \) и \( BO = CO \) (или \( AO=CO \) и \( BO=DO \)).