1. Дано: ABC A1B1C1 — призма. Найдите: a) AA1 + AB + BC; б) AA1 - AB.

Решение:

Для решения этих задач будем использовать правило треугольника и правило параллелограмма для сложения и вычитания векторов.

1. а) \[ \vec{AA_1} + \vec{AB} + \vec{BC} \]

   По правилу треугольника, сумма векторов \( \vec{AB} + \vec{BC} \) равна вектору \( \vec{AC} \). Таким образом:

   \[ \vec{AA_1} + (\vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{AA_1} + \vec{AC} \]

   Сумма \( \vec{AA_1} + \vec{AC} \) не сводится к одному вектору по простым правилам, но если бы вектор \( \vec{AC} \) был вектором основания, то сумма была бы равна вектору, идущему от \( A \) к точке, соответствующей \( C \) на верхней грани.

   Ответ: \( \vec{AA_1} + \vec{AC} \)

2. б) \[ \vec{AA_1} - \vec{AB} \]

   Вычитание вектора \( \vec{AB} \) из \( \vec{AA_1} \) эквивалентно сложению с противоположным вектором:

   \[ \vec{AA_1} + (-\vec{AB}) \]

   Чтобы найти результирующий вектор, мы можем начать от точки \( A \) и пройти по вектору \( \vec{AA_1} \), а затем по вектору \( -\vec{AB} \) (что эквивалентно движению от \( B \) к \( A \)).

   Ответ: Вектор, идущий из \( A \) в \( A_1 \), а затем из \( A_1 \) в \( B_1 \) (если рассматривать \( \vec{A_1B_1} \) как \( \vec{AB} \) из-за свойств призмы), или же вектор, который можно построить, отложив \( \vec{AB} \) от \( A_1 \) в противоположном направлении.