4. Дано: ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Укажите вектор, равный: a) BC + C1D1 + AA + DB; б) AC - AC - CB1.

Решение:

Используем свойства векторов в параллелепипеде.

1. а) \[ \vec{BC} + \vec{C_1D_1} + \vec{AA_1} + \vec{DB} \]

   В параллелепипеде \( \vec{C_1D_1} = \vec{BA} = -\vec{AB} \) и \( \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1} \).

   Перегруппируем:

   \[ \vec{BC} + \vec{DB} + \vec{C_1D_1} + \vec{AA_1} \]

   Заменим \( \vec{C_1D_1} \) на \( \vec{BA} \):

   \[ \vec{BC} + \vec{DB} + \vec{BA} + \vec{AA_1} \]

   Теперь сложим \( \vec{BC} + \vec{DB} = \vec{DC} \) (по правилу треугольника, если начинать с \( D \)).

   Или, \( \vec{DB} + \vec{BC} = \vec{DC} \).

   Тогда:

   \[ \vec{DC} + \vec{BA} + \vec{AA_1} \]

   Так как \( \vec{BA} = -\vec{AB} \) и \( \vec{DC} = \vec{AB} \) (в параллелограмме \( ABCD \)), то \( \vec{DC} + \vec{BA} = \vec{AB} + (-\vec{AB}) = \vec{0} \).

   Тогда:

   \[ \vec{0} + \vec{AA_1} = \vec{AA_1} \]

   Ответ: \( \vec{AA_1} \)

2. б) \[ \vec{AC} - \vec{AC} - \vec{CB_1} \]

   Вектор \( \vec{AC} - \vec{AC} \) равен нулевому вектору \( \vec{0} \).

   \[ \vec{AC} - \vec{AC} - \vec{CB_1} = \vec{0} - \vec{CB_1} = -\vec{CB_1} \]

   Вектор \( -\vec{CB_1} \) равен вектору \( \vec{B_1C} \).

   Ответ: \( \vec{B_1C} \)