3. Дано: ABCDA1B1C1D1 — параллелепипед. Укажите вектор, равный: a) AB + BC + DD1 + CD; б) AC - AC + C1A.

Решение:

Воспользуемся свойствами векторов в параллелепипеде.

1. а) \[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{DD_1} + \vec{CD} \]

   Сгруппируем векторы:

   \[ (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{CD} + \vec{DD_1}) \]

   По правилу треугольника, \( \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \).

   В параллелепипеде \( \vec{CD} = \vec{BA} = -\vec{AB} \) и \( \vec{DD_1} = \vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} \).

   Также \( \vec{CD} + \vec{DD_1} \) не сводится к одному вектору напрямую без дополнительных условий.

   Перегруппируем иначе:

   \[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DD_1} \]

   \[ (\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}) + \vec{DD_1} \]

   \[ \vec{AD} + \vec{DD_1} \]

   Теперь, по правилу треугольника, \( \vec{AD} + \vec{DD_1} = \vec{AD_1} \).

   Ответ: \( \vec{AD_1} \)

2. б) \[ \vec{AC} - \vec{AC} + \vec{C_1A} \]

   Вектор \( \vec{AC} - \vec{AC} \) равен нулевому вектору \( \vec{0} \).

   \[ \vec{AC} - \vec{AC} + \vec{C_1A} = \vec{0} + \vec{C_1A} = \vec{C_1A} \]

   Ответ: \( \vec{C_1A} \)