1. Дано: AD = BD; BE = EC; ∠BDE=80°, ∠BED=60° (рис. 4.46). Найти: ∠ABC.

Давайте решим эту задачу по геометрии шаг за шагом. **Шаг 1: Рассмотрим треугольник BDE** * Известно, что \(\angle BDE = 80^\circ\) и \(\angle BED = 60^\circ\). * Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Поэтому угол \(\angle DBE\) можно найти так: \[\angle DBE = 180^\circ - \angle BDE - \angle BED = 180^\circ - 80^\circ - 60^\circ = 40^\circ\] **Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABD** * Так как AD = BD, то треугольник ABD является равнобедренным, и углы при основании равны, то есть \(\angle BAD = \angle ABD\). * Угол \(\angle BDA\) является смежным с углом \(\angle BDE\), поэтому: \[\angle BDA = 180^\circ - \angle BDE = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ\] * Сумма углов треугольника ABD равна 180 градусам, поэтому: \[\angle BAD + \angle ABD + \angle BDA = 180^\circ\] \[2 \cdot \angle ABD + 100^\circ = 180^\circ\] \[2 \cdot \angle ABD = 80^\circ\] \[\angle ABD = 40^\circ\] **Шаг 3: Рассмотрим треугольник BEC** * Так как BE = EC, то треугольник BEC является равнобедренным, и углы при основании равны, то есть \(\angle EBC = \angle ECB\). * Угол \(\angle BEC\) является смежным с углом \(\angle BED\), поэтому: \[\angle BEC = 180^\circ - \angle BED = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\] * Сумма углов треугольника BEC равна 180 градусам, поэтому: \[\angle EBC + \angle ECB + \angle BEC = 180^\circ\] \[2 \cdot \angle EBC + 120^\circ = 180^\circ\] \[2 \cdot \angle EBC = 60^\circ\] \[\angle EBC = 30^\circ\] **Шаг 4: Найдем угол ABC** * Угол \(\angle ABC\) состоит из углов \(\angle ABD\) и \(\angle EBC\): \[\angle ABC = \angle ABD + \angle EBC = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ\] **Итоговый ответ:** \(\angle ABC = 70^\circ\)