1. Дано: ∠B=∠C=90°, ∠BDC=10°, ∠ADB = 40°. Доказать: ΔABD = ΔDCA.

Решение:

В данном условии сказано, что ∠B = ∠C = 90°, что является недопустимым для треугольника, так как сумма углов треугольника равна 180°. Если бы ∠B и ∠C были бы углами при основании равнобедренного треугольника, то они должны быть равны. Здесь они равны 90°, что невозможно. Возможно, имелось в виду, что это углы прямоугольника или трапеции. Если это прямоугольник ABCD, то ∠B=∠C=90°, но тогда точки B и C лежат на одной стороне, а D - на другой. В этом случае треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и углу между ними (AD - общая сторона, AB = DC, ∠ADB = ∠DCA - накрест лежащие при параллельных AB и DC и секущей AD).

Однако, если предположить, что углы ∠ABC и ∠BCD равны 90°, то ABCD - прямоугольник. В этом случае:

1. AB || DC (по определению прямоугольника)

2. AD - секущая

3. ∠ADB = ∠CAD (накрест лежащие углы)

4. ∠ABD = ∠BDC (накрест лежащие углы)

Данные в условии: ∠BDC = 10°, ∠ADB = 40°.

Если ABCD - прямоугольник, то ∠ADB = ∠CAD = 40° и ∠BDC = ∠ABD = 10°.

В треугольнике ABD:

1. ∠ABD = 10°

2. ∠ADB = 40°

3. ∠BAD = 180° - (10° + 40°) = 180° - 50° = 130°.

В треугольнике DCA:

1. ∠DCA = 90°

2. ∠CAD = 40°

3. ∠CDA = 180° - (90° + 40°) = 180° - 130° = 50°.

В прямоугольнике ABCD ∠CDA = 90° (смежный с ∠BAD = 130°, что невозможно).

Вывод: Условие задачи некорректно. Невозможно доказать равенство треугольников при заданных условиях.