4*. Дано: AB = BC, AC = 10 см.

Решение:

В треугольнике ABC сторона AB равна стороне BC, значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

Дано: \( AB = BC \), \( AC = 10 \) см.

1) Между какими целыми числами заключена длина высоты треугольника ABC?

Высота, опущенная из вершины B на основание AC, является также медианой и биссектрисой, так как треугольник равнобедренный.

Пусть эта высота — BH. Тогда \( H \) — середина AC, и \( AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.

В прямоугольном треугольнике ABH:

\( AB^2 = AH^2 + BH^2 \)

\( AB^2 = 5^2 + BH^2 \)

\( AB^2 = 25 + BH^2 \)

\( BH = √(AB^2 - 25) \)

Чтобы найти диапазон для BH, нужно рассмотреть возможные значения AB.

По неравенству треугольника, сумма двух сторон должна быть больше третьей:

\( AB + BC > AC \) → \( 2AB > 10 \) → \( AB > 5 \).

Также, \( AB + AC > BC \) → \( AB + 10 > AB \), что верно.

Таким образом, \( AB > 5 \) см.

Если \( AB \) стремится к 5 (но больше 5), то \( BH = √(AB^2 - 25) \) стремится к \( √(5^2 - 25) = √(25 - 25) = 0 \).

Если \( AB \) очень велико (теоретически), то \( BH \) тоже будет очень велико.

Однако, в задаче указан угол \( ∠ A = 60° \). Это означает, что треугольник ABC равносторонний, так как \( ∠ A = 60° \) и \( AB = BC \).

Если \( ∠ A = 60° \) в равнобедренном треугольнике, то и \( ∠ C = 60° \). Тогда \( ∠ B = 180° - 60° - 60° = 60° \). Следовательно, треугольник равносторонний.

В равностороннем треугольнике все стороны равны: \( AB = BC = AC = 10 \) см.

Высота в равностороннем треугольнике равна \( BH = \frac{√3}{2} a \), где \( a \) — сторона треугольника.

\( BH = \frac{√3}{2} × 10 = 5√3 \) см.

\( √3 ≈ 1.732 \)

\( BH ≈ 5 × 1.732 = 8.66 \) см.

Целые числа, между которыми заключена длина высоты: 8 и 9.

Ответ: Длина высоты заключена между целыми числами 8 и 9.

2) Найдите сумму длин отрезков, соединяющих точку Т с серединами сторон АВ и ВС.

Точка T — середина AC, поскольку BH является медианой.

Пусть M — середина AB, N — середина BC.

Нам нужно найти сумму длин отрезков TM + TN.

TM — средняя линия треугольника ABT, соединяющая середины сторон AB и AT (где AT = 5 см).

TM = \( \frac{1}{2} BT \).

TN — средняя линия треугольника CBT, соединяющая середины сторон BC и CT (где CT = 5 см).

TN = \( \frac{1}{2} BT \).

Сумма длин отрезков TM + TN = \( \frac{1}{2} BT + \frac{1}{2} BT = BT \).

BT — это высота BH, которую мы уже нашли.

\( BT = BH = 5√3 \) см.

Ответ: Сумма длин отрезков TM + TN равна \( 5√3 \) см.