1. Дано: BO = DO, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ΔABO = ΔCDO.

Для начала найдем ∠D. Рассмотрим треугольник BOC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB. ∠OBC это часть ∠ABC, а ∠OCB это часть ∠BCD. Но у нас нет информации о том, какие части этих углов относятся к треугольнику BOC. Однако, посмотрим на ∠AOC. Он равен 100°. ∠BOD вертикальный к ∠AOC, а значит, они равны. ∠BOD = 100°. Теперь в четырехугольнике ABCD сумма углов 360°. ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°. Из треугольника BOC: ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180°. Так как ∠BOC = 100°, то ∠OBC + ∠OCB = 180 - 100 = 80°. Необходимо заметить, что если BO=DO, то треугольник BOD равнобедренный, а значит ∠OBD = ∠ODB. Т.к. ∠BOD = 100°, то ∠OBD = ∠ODB = (180-100)/2=40°. ∠ABC = 45°, значит ∠ABO = 45-40=5°. ∠BCD = 55°, значит ∠DCO = 55-40=15°. Теперь посмотрим на треугольники ABO и CDO. У них ∠AOB = ∠COD (вертикальные). BO = DO (по условию). Необходимо доказать равенство ΔABO = ΔCDO. Для этого необходимо доказать, что ∠BAO = ∠DCO. ∠A = 180-∠AOB-∠ABO. ∠C = 180-∠COD-∠CDO. ∠AOB = ∠COD = 100°. ∠ABO = 5°. ∠CDO = 40°. ∠A = 180 - 100 - 5 = 75. ∠C = 180 - 100 - 15 = 65. Значит треугольники не равны, доказательство не выполнено, и ∠D не можем найти. Данных недостаточно.