1. Дано: плоскости α и β параллельны, прямые a и b параллельны. Прямые a и b пересекают плоскость α в точках A и B, а плоскость β — в точках A₁ и B₁. Доказать: AB = A₁B₁.

Рассмотрим плоскость, проходящую через параллельные прямые a и b. Она пересекает плоскость α по прямой AB, а плоскость β — по прямой A₁B₁.

Так как α ∥ β, то линии их пересечения с третьей плоскостью параллельны:

\(AB \parallel A_1B_1\).

Кроме того, \(AA_1 \parallel BB_1\), так как эти отрезки лежат на параллельных прямых a и b. Следовательно, четырёхугольник \(ABB_1A_1\) — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому:

\[AB=A_1B_1.\]

Ответ: \(AB=A_1B_1\).