4. Дано: плоскости α и β параллельны; прямые a и b пересекаются в точке O. OA = 5, OB = 4, OA₁ = 3, A₁B₁ = 6. Найти: AB и OB₁.

Так как α ∥ β, то треугольники \(OAB\) и \(OA_1B_1\) подобны.

Коэффициент подобия большого треугольника к малому:

\[k=\frac{OA}{OA_1}=\frac{5}{3}.\]

Найдём длину \(AB\):

\[\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{5}{3},\]

\[AB=6\cdot\frac{5}{3}=10.\]

Для отрезков на прямой b:

\[\frac{OB}{OB_1}=\frac{OA}{OA_1}=\frac{5}{3}.\]

Отсюда:

\[OB_1=OB\cdot\frac{3}{5}=4\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{5}=2{,}4.\]

Ответ: \(AB=10\), \(OB_1=\frac{12}{5}=2{,}4\).