2. Дано: прямые a и b пересекаются в точке O; плоскости α и β параллельны. Прямая a пересекает α в точке A и β в точке A₁, прямая b пересекает α в точке B и β в точке B₁. Доказать: AB ∥ A₁B₁.

Рассмотрим треугольники \(OAB\) и \(OA_1B_1\).

У них общий угол при вершине O:

\(\angle AOB=\angle A_1OB_1\).

Так как α ∥ β, то соответствующие углы, образованные секущими a и b, равны:

\(\angle OAB=\angle OA_1B_1\), \(\angle OBA=\angle OB_1A_1\).

Следовательно, треугольники подобны:

\(\triangle OAB\sim\triangle OA_1B_1\).

При этом соответствующие стороны AB и A₁B₁ лежат на параллельных сечениях двух параллельных плоскостей. Поэтому:

\[AB\parallel A_1B_1.\]

Ответ: \(AB\parallel A_1B_1\).