1. Даны два прямоугольных треугольника ДАВС, ДАВС (рис1). АС - биссектриса, \(\angle\) BAC = 35°. Доказать: \(\triangle\) ABC = \(\triangle\) ADC. Найти \(\angle\) BCD.

Решение:

Дано: \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) — прямоугольные, \(AC\) — биссектриса, \(\angle BAC = 35°\).

Доказать: \(\triangle ABC = \triangle ADC\).

Найти: \(\angle BCD\).

1. Так как \(AC\) — биссектриса \(\angle BAD\), то \(\angle BAC = \angle CAD = 35°\).
2. В прямоугольных треугольниках \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\) катет \(AC\) — общий.
3. По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу (катет \(AC\) и острый угол \(\angle BAC = \angle CAD = 35°\)), \(\triangle ABC = \triangle ADC\).
4. \(\angle ABC = \angle ADC = 90°\) (по условию — прямоугольные треугольники).
5. \(\angle BCA\) и \(\angle DCA\) — углы, на которые нужно найти сумму \(\angle BCD\).
6. В \(\triangle ABC\): \(\angle BCA = 180° - 90° - 35° = 55°\).
7. Так как \(\triangle ABC = \triangle ADC\), то \(\angle BCA = \angle DCA = 55°\).
8. \(\angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 55° + 55° = 110°\).

Ответ: \(\triangle ABC = \triangle ADC\), \(\angle BCD = 110°\).