3. Дан равнобедренный \(\triangle\) ABC, BO — биссектриса (рис 3). Доказать: \(\triangle\) ABO = \(\triangle\) OBC. Найдите AB, если \(\angle\) A = 60°, AO = 8 см.

Решение:

Дано: \(\triangle ABC\) — равнобедренный, \(BO\) — биссектриса, \(\angle A = 60°\), \(AO = 8\) см.

Доказать: \(\triangle ABO = \triangle OBC\).

Найти: \(AB\).

1. Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный и \(BO\) — биссектриса, то \(BO\) также является медианой и высотой.
2. Если \(BO\) — медиана, то \(AO = OC\).
3. Если \(BO\) — высота, то \(\angle AOB = \angle COB = 90°\).
4. В \(\triangle ABC\) \(\angle A = 60°\). Так как \(\triangle ABC\) равнобедренный, то \(\angle C = \angle A = 60°\).
5. Сумма углов в \(\triangle ABC\): \(\angle B = 180° - 60° - 60° = 60°\).
6. Таким образом, \(\triangle ABC\) — равносторонний, так как все его углы равны \(60°\).
7. Следовательно, \(AB = BC = AC\).
8. Так как \(AO = 8\) см и \(AO = OC\), то \(AC = AO + OC = 8 + 8 = 16\) см.
9. Так как \(\triangle ABC\) равносторонний, то \(AB = AC = 16\) см.
10. Рассмотрим \(\triangle ABO\). \(\angle A = 60°\), \(\angle AOB = 90°\), \(AO = 8\) см.
11. \(BO\) — биссектриса \(\angle ABC\), значит, \(\angle ABO = \frac{1}{2} B = \frac{1}{2} \times 60° = 30°\).
12. В \(\triangle ABO\) углы равны \(60°, 90°, 30°\).
13. Чтобы доказать \(\triangle ABO = \triangle OBC\) по признаку равенства по стороне и двум прилежащим углам: \(AO = OC\) (из того, что \(BO\) — медиана), \(\angle BAO = \angle BCO = 60°\) (так как \(\triangle ABC\) равносторонний), \(\angle AOB = \angle COB = 90°\) (так как \(BO\) — высота).
14. Таким образом, \(\triangle ABO = \triangle OBC\) по стороне и двум прилежащим углам (или по катету и острому углу, так как \(AO=OC\) и \(\angle BAO = \angle BCO\)).

Ответ: \(\triangle ABO = \triangle OBC\), \(AB = 16\) см.