1. Даны точки A (1; 5), B (−3; 2) и C (2; 3). Найдите: 1) координаты векторов CA и CB; 2) модули векторов CA и CB; 3) координаты вектора DM = 3CA − 4CB; 4) скалярное произведение векторов CA и CB; 5) косинус угла между векторами CA и CB.

1) Координаты вектора находим вычитанием координат его начала из координат конца:

\(\overrightarrow{CA}=(1-2;\,5-3)=(-1;\,2)\), \(\overrightarrow{CB}=(-3-2;\,2-3)=(-5;\,-1)\).

2) Модуль вектора с координатами \((x;y)\) равен \(\sqrt{x^2+y^2}\):

\(|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt5\), \(|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{(-5)^2+(-1)^2}=\sqrt{26}\).

3) Выполняем действия покоординатно:

\(\overrightarrow{DM}=3\overrightarrow{CA}-4\overrightarrow{CB}=(-3;6)-(-20;-4)=(17;10)\).

4) Скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

\(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-1)(-5)+2(-1)=3\).

5) Используем формулу скалярного произведения:

\(\cos\varphi=\dfrac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|\,|\overrightarrow{CB}|}=\dfrac{3}{\sqrt5\sqrt{26}}=\dfrac{3}{\sqrt{130}}\).

Ответ: 1) \((-1;2),\;(-5;-1)\); 2) \(\sqrt5,\;\sqrt{26}\); 3) \((17;10)\); 4) \(3\); 5) \(\dfrac{3}{\sqrt{130}}\).