№1. Даны точки: A(2; −1; 3), B(−1; 2; 0), C(4; 1; −2), D(0; −3; 5). Найти: а) \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}\); б) расстояние между серединами отрезков AB и CD.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Найдём координаты векторов: \(\overrightarrow{AC}=(4-2;\,1-(-1);\,-2-3)=(2;2;-5)\), \(\overrightarrow{CD}=(0-4;\,-3-1;\,5-(-2))=(-4;-4;7)\).

Скалярное произведение: \(\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CD}=2\cdot(-4)+2\cdot(-4)+(-5)\cdot7=-8-8-35=-51\).

б) Середина \(AB\): \(M\left(\frac{2+(-1)}2;\frac{-1+2}2;\frac{3+0}2\right)=\left(\frac12;\frac12;\frac32\right)\).

Середина \(CD\): \(N\left(\frac{4+0}2;\frac{1+(-3)}2;\frac{-2+5}2\right)=(2;-1;\frac32)\).

Тогда \(MN=\sqrt{(2-\frac12)^2+(-1-\frac12)^2+(\frac32-\frac32)^2}=\sqrt{\frac94+\frac94}=\frac{3\sqrt2}{2}\).

Ответ: а) −51; б) \(\frac{3\sqrt2}{2}\).