№3. В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) \(AB=1\), \(BC=2\), \(BB_1=3\). Вычислите косинус угла между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\).

Зададим координаты: \(A=(0;0;0)\), \(B=(1;0;0)\), \(C=(1;2;0)\), \(B_1=(1;0;3)\), \(C_1=(1;2;3)\).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AB_1}=(1;0;3)\), \(\overrightarrow{BC_1}=(0;2;3)\). Их скалярное произведение равно \(1\cdot0+0\cdot2+3\cdot3=9\).

Длины векторов: \(|\overrightarrow{AB_1}|=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}\), \(|\overrightarrow{BC_1}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\).

Косинус угла между прямыми равен \(\frac{|9|}{\sqrt{10}\sqrt{13}}=\frac{9}{\sqrt{130}}\).

Ответ: \(\frac{9}{\sqrt{130}}\).