1) Даны точки: A(2; −8; 1), B(−7; 10; −8), C(−8; 0; −10), D(−9; 8; 7). Найдите: а) угол между векторами AB и CD; б) расстояние между серединами отрезков AB и CD.

а) Находим координаты векторов: \(\overrightarrow{AB}=B-A=(-9;18;-9)\), \(\overrightarrow{CD}=D-C=(-1;8;17)\).

Их скалярное произведение: \((-9)(-1)+18\cdot8+(-9)\cdot17=9+144-153=0\). Следовательно, векторы перпендикулярны, и угол между ними равен \(90^\circ\).

б) Середины отрезков: \(M_{AB}=\left(-\frac52;1;-\frac72\right)\), \(M_{CD}=\left(-\frac{17}2;4; -\frac32\right)\).

Тогда \(M_{AB}M_{CD}=\sqrt{(-6)^2+3^2+2^2}=\sqrt{49}=7\).

Ответ: а) \(90^\circ\); б) 7.