1) Даны векторы \( \vec{a} = 2\vec{i} + 5\vec{j} + m\vec{k} \), \( \vec{b} = -2\vec{i} + \vec{j} + 3\vec{k} \). При каком значении m выполняется условие \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -7 \)?

Объяснение:

Для того чтобы найти значение m, нужно вспомнить, как вычисляется скалярное произведение двух векторов в координатной форме. Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (x_1; y_1; z_1) \) и \( \vec{b} = (x_2; y_2; z_2) \) равно сумме произведений их соответствующих координат: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \).

В нашем случае:

• \( \vec{a} = (2; 5; m) \)
• \( \vec{b} = (-2; 1; 3) \)

Подставим значения в формулу:

1. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-2) + (5)(1) + (m)(3) \)
2. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -4 + 5 + 3m \)
3. \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 + 3m \)

По условию задачи, скалярное произведение равно -7. Приравниваем полученное выражение к -7:

• \( 1 + 3m = -7 \)
• \( 3m = -7 - 1 \)
• \( 3m = -8 \)
• \( m = -\frac{8}{3} \)

Ответ: \( m = -\frac{8}{3} \)