2) Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром, равным 3. Найдите значение числа \( \lambda \), если \( \lambda = \vec{AD_1} \cdot \vec{CB_1} + \vec{AC} \cdot \vec{DC_1} + \vec{A_1B_1} \cdot \vec{BC} \)

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить координаты векторов, исходя из свойств куба. Пусть вершина A находится в начале координат (0, 0, 0). Тогда ребро куба равно 3.

Определим координаты вершин:

• A = (0, 0, 0)
• B = (3, 0, 0)
• C = (3, 3, 0)
• D = (0, 3, 0)
• A₁ = (0, 0, 3)
• B₁ = (3, 0, 3)
• C₁ = (3, 3, 3)
• D₁ = (0, 3, 3)

Теперь найдем векторы:

• \( \vec{AD_1} = D_1 - A = (0, 3, 3) - (0, 0, 0) = (0, 3, 3) \)
• \( \vec{CB_1} = B_1 - C = (3, 0, 3) - (3, 3, 0) = (0, -3, 3) \)
• \( \vec{AC} = C - A = (3, 3, 0) - (0, 0, 0) = (3, 3, 0) \)
• \( \vec{DC_1} = C_1 - D = (3, 3, 3) - (0, 3, 0) = (3, 0, 3) \)
• \( \vec{A_1B_1} = B_1 - A_1 = (3, 0, 3) - (0, 0, 3) = (3, 0, 0) \)
• \( \vec{BC} = C - B = (3, 3, 0) - (3, 0, 0) = (0, 3, 0) \)

Вычислим скалярные произведения:

1. \( \vec{AD_1} \cdot \vec{CB_1} = (0)(0) + (3)(-3) + (3)(3) = 0 - 9 + 9 = 0 \)
2. \( \vec{AC} \cdot \vec{DC_1} = (3)(3) + (3)(0) + (0)(3) = 9 + 0 + 0 = 9 \)
3. \( \vec{A_1B_1} \cdot \vec{BC} = (3)(0) + (0)(3) + (0)(0) = 0 + 0 + 0 = 0 \)

Теперь найдем \( \lambda \):

• \( \lambda = 0 + 9 + 0 \)
• \( \lambda = 9 \)

Ответ: \( \lambda = 9 \)