3) Угол между векторами \( \vec{a}\{5; 2p; 1\} \) и \( \vec{b}\{6; -p; 2\} \) острый. Найдите p.

Объяснение:

Угол между двумя векторами является острым, если их скалярное произведение положительно. Скалярное произведение векторов \( \vec{a} = (x_1; y_1; z_1) \) и \( \vec{b} = (x_2; y_2; z_2) \) вычисляется по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \).

В нашем случае:

• \( \vec{a} = (5; 2p; 1) \)
• \( \vec{b} = (6; -p; 2) \)

Вычислим скалярное произведение:

• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = (5)(6) + (2p)(-p) + (1)(2) \)
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 30 - 2p^2 + 2 \)
• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 32 - 2p^2 \)

Условие острого угла означает, что скалярное произведение больше нуля:

• \( 32 - 2p^2 > 0 \)
• \( 32 > 2p^2 \)
• \( 16 > p^2 \)
• \( p^2 < 16 \)

Это неравенство выполняется, когда \( -4 < p < 4 \).

Ответ: \( p \in (-4; 4) \)