4) Найдите угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \), если заданы координаты точек \( A(3; -4; 1) \), \( B(5; -3; 3) \), \( C(-4; 2; 5) \), \( D(-3; 3; 5) \)

Объяснение:

Чтобы найти угол между двумя векторами, нам сначала нужно найти координаты этих векторов. Затем мы используем формулу для косинуса угла между векторами, которая выглядит так: \( \cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \), где \( \theta \) — угол между векторами, \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) — их скалярное произведение, а \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) — их длины.

Шаг 1: Найдем координаты векторов.

Вектор \( \vec{AB} \) находится путем вычитания координат точки A из координат точки B:

• \( \vec{AB} = B - A = (5 - 3; -3 - (-4); 3 - 1) = (2; 1; 2) \)

Вектор \( \vec{CD} \) находится путем вычитания координат точки C из координат точки D:

• \( \vec{CD} = D - C = (-3 - (-4); 3 - 2; 5 - 5) = (1; 1; 0) \)

Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} \) равно сумме произведений их соответствующих координат:

• \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} = (2)(1) + (1)(1) + (2)(0) = 2 + 1 + 0 = 3 \)

Шаг 3: Найдем длины векторов.

Длина вектора \( \vec{AB} \) равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:

• \( |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \)

Длина вектора \( \vec{CD} \) равна квадратному корню из суммы квадратов его координат:

• \( |\vec{CD}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \)

Шаг 4: Найдем косинус угла между векторами.

• \( \cos(\theta) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} = \frac{3}{3 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

Шаг 5: Найдем сам угол.

Угол, косинус которого равен \( \frac{1}{\sqrt{2}} \), равен 45 градусов (или \( \frac{\pi}{4} \) радиан).

Ответ: Угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) равен 45°.