1) Дайте определение центрального и вписанного углов окружности. Сформулируйте свойство вписанного угла. 2) Запишите формулы площадей параллелограмма, ромба, трапеции. Запишите вывод одной из формул (по выбору).

1. Центральный и вписанный углы:

• Центральный угол — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности. Его стороны пересекают окружность в двух точках, образуя дугу. Величина центрального угла равна величине дуги, которую он стягивает.
• Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность в двух точках.

Свойство вписанного угла:

• Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство (для случая, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром):

Пусть ∠ABC — вписанный угол, и AC — диаметр окружности. O — центр окружности. Треугольник AOB является равнобедренным (OA = OB как радиусы). Следовательно, ∠OAB = ∠OBA.

Угол ∠AOC — центральный, он равен дуге AC. Угол ∠ABC — вписанный, опирается на дугу AC.

Угол ∠AOC является внешним углом для треугольника BOC. Следовательно, ∠AOC = ∠OBC + ∠OCB. Так как ∠OBC = ∠ABC и ∠OCB = ∠OAB, то ∠AOC = ∠ABC + ∠OAB.

Так как OA = OB, то ∠OAB = ∠ABC. Поэтому ∠AOC = ∠ABC + ∠ABC = 2 * ∠ABC.

Значит, \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC \]

Поскольку величина центрального угла равна величине дуги, то \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \text{ дуги AC} \]

(Доказательство для общего случая, когда центр окружности не лежит на стороне угла, требует рассмотрения дополнительных построений и проведения через вершину угла диаметра).

2. Формулы площадей:

• Параллелограмм: \[ S = a \times h \] (где 'a' — сторона, 'h' — высота, проведенная к этой стороне)
• Ромб: \[ S = a \times h \quad \text{или} \quad S = \frac{1}{2} d_1 \times d_2 \] (где 'a' — сторона, 'h' — высота, $$d_1$$ и $$d_2$$ — диагонали)
• Трапеция: \[ S = \frac{a+b}{2} \times h \] (где 'a' и 'b' — основания, 'h' — высота)

Вывод формулы площади параллелограмма:

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведем высоту BH к стороне AD. Площадь параллелограмма можно представить как площадь прямоугольника, если "отрезать" прямоугольный треугольник ABH и "приставить" его к стороне CD, образуя прямоугольник HBCE. Построим высоту BH из вершины B на основание AD. Треугольник ABH — прямоугольный. Отрежем этот треугольник от параллелограмма. Затем перенесем его к стороне CD так, чтобы точка B совместилась с точкой C, а точка H с точкой, лежащей на продолжении CD. Получим прямоугольник HBCE. Площадь этого прямоугольника равна произведению его сторон HB и HE. Так как BH = CE (высоты), а HE = AD (так как HD + DA = HE и AD = BC, а в треугольнике ABH BH = CE, AH = DE), то площадь прямоугольника HBCE равна AD * BH. Поскольку площадь перенесенной фигуры равна площади исходной, то площадь параллелограмма ABCD равна произведению его основания AD на высоту BH. \[ S = AD \times BH \quad \text{или} \quad S = a \times h \]