1) Расскажите о взаимном расположении двух окружностей, о касании окружностей. Общие касательные к двум окружностям. 2) Запишите формулу площади треугольника, следствия из нее, формулу Герона. Запишите вывод формулы площади треугольника.

1. Взаимное расположение двух окружностей:

Две окружности на плоскости могут располагаться следующим образом:

• Независимо друг от друга: Если расстояние между центрами больше суммы радиусов ($$d > R + r$$), окружности не имеют общих точек.
• Касаются внешне: Если расстояние между центрами равно сумме радиусов ($$d = R + r$$), окружности имеют одну общую точку (точку касания).
• Пересекаются: Если расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше суммы радиусов ($$|R - r| < d < R + r$$), окружности имеют две общие точки.
• Касаются внутренне: Если расстояние между центрами равно разности радиусов ($$d = |R - r|$$), окружности имеют одну общую точку (точку касания).
• Одна внутри другой: Если расстояние между центрами меньше разности радиусов ($$d < |R - r|$$), одна окружность находится внутри другой и не имеет с ней общих точек.
• Совпадают: Если центры и радиусы совпадают ($$d = 0, R = r$$).

Общие касательные:

• Две внешние касательные: Проходят по одну сторону от линии, соединяющей центры окружностей. Существуют, если окружности не пересекаются и не вложены одна в другую.
• Две внутренние (перекрестные) касательные: Пересекаются на линии, соединяющей центры окружностей. Существуют, если окружности не пересекаются и не вложены одна в другую.
• Одна касательная: Если окружности касаются внешне (общая внешняя) или внутренне (общая внешняя).

2. Площадь треугольника:

Основная формула:

\[ S = \frac{1}{2} a \times h_a \]

(где 'a' — одна из сторон треугольника, $$h_a$$ — высота, проведенная к этой стороне).

Следствия из основной формулы:

• Если известны две стороны и угол между ними: \[ S = \frac{1}{2} ab \sin \gamma \]

Формула Герона:

\[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]

(где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр: \[ p = \frac{a+b+c}{2} \])

Вывод формулы площади треугольника ($$S = \frac{1}{2} a \times h_a$$):

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем высоту BH к стороне AC. Высота делит основание AC на отрезки AH и HC. Треугольник ABC состоит из двух (или одного, если высота совпадает со стороной) прямоугольных треугольников: ABH и CBH.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Однако, здесь удобнее рассмотреть площадь через основание и высоту.

Сначала рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C — прямой. Высота, проведенная к катету AC, является катетом BC, а высота, проведенная к катету BC, является катетом AC. Его площадь равна \[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \]

Теперь рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем высоту BH к основанию AC. Эта высота делит треугольник ABC на два прямоугольных треугольника: ABH и CBH (если угол B не прямой).

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABH и CBH:

\[ S_{ABC} = S_{ABH} + S_{CBH} \]

Так как $$S_{ABH} = \frac{1}{2} \times AH \times BH$$ и $$S_{CBH} = \frac{1}{2} \times HC \times BH$$, то:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AH \times BH + \frac{1}{2} \times HC \times BH \]

Вынесем общий множитель $$\frac{1}{2} BH$$ за скобки:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} BH \times (AH + HC) \]

Так как $$AH + HC = AC$$, то:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} BH \times AC \]

Или, обозначая основание $$AC$$ как $$a$$, а высоту $$BH$$ как $$h_a$$, получаем:

\[ S = \frac{1}{2} a \times h_a \]

(Примечание: Если угол A или C тупой, высота BH будет падать на продолжение стороны AC, но формула остается верной).