1. Длина часовой стрелки настенных часов равна 16 см. а) Чему равен модуль перемещения конца стрелки за сутки? б) Чему равен путь, пройденный концом стрелки за сутки? в) За какое время путь, пройденный концом стрелки, будет больше модуля его перемещения в 3,14 раза?

Часовая стрелка за сутки совершает два полных оборота. Её угловая скорость равна \(\omega=2\pi/12=\pi/6\) рад/ч.

а) За сутки конец стрелки возвращается в исходное положение, поэтому модуль перемещения равен 0 см.

б) Длина окружности радиусом 16 см равна \(2\pi R=32\pi\) см. За два оборота конец стрелки проходит \(s=64\pi\approx201.1\) см.

в) Пусть стрелка повернулась на угол \(\varphi\) от начала движения. Тогда путь равен \(16\varphi\), а модуль перемещения — \(32\sin(\varphi/2)\). Для первого момента, когда отношение пути к перемещению достигает 3,14, решаем \(\varphi/(2\sin(\varphi/2))=3.14\). Получаем \(\varphi\approx4.63\) рад, поэтому \(t=\varphi/\omega\approx4.63/(\pi/6)\approx8.84\) ч.

Ответ: а) 0 см; б) \(64\pi\) см (около 201.1 см); в) примерно через 8 ч 50 мин от начала отсчёта.