1. Докажите тождество Диофанта (III в.): (a² + b²)(c² + d²) = (ac+bd)² + (ad-bc)²

Решение:

Для доказательства тождества Диофанта раскроем обе части уравнения и покажем, что они равны.

• Левая часть:
• (a² + b²)(c² + d²) = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²
• Правая часть:
• (ac+bd)² + (ad-bc)²
• Раскроем первый квадрат суммы:
• (ac+bd)² = (ac)² + 2(ac)(bd) + (bd)² = a²c² + 2abcd + b²d²
• Раскроем второй квадрат разности:
• (ad-bc)² = (ad)² - 2(ad)(bc) + (bc)² = a²d² - 2abcd + b²c²
• Теперь сложим полученные выражения:
• (a²c² + 2abcd + b²d²) + (a²d² - 2abcd + b²c²)
• Приведем подобные слагаемые:
• a²c² + a²d² + b²c² + b²d² + 2abcd - 2abcd
• = a²c² + a²d² + b²c² + b²d²
• Сравнивая левую и правую части, видим, что они равны.

Ответ: Тождество Диофанта доказано.