340. Докажите тождество: a) (a+b)² + (a - b)² = 2(a² + b²); б) (a + b)² - (a - b)² = 4ab; в) а² + b²= (a+b)²-2ab; г) (a + b)² - 2b(a + b) = a²-b².

Решение:

Чтобы доказать тождество, нужно преобразовать одну его часть так, чтобы она совпала с другой частью, или преобразовать обе части независимо друг от друга и убедиться, что они равны.

• a) (a+b)² + (a - b)² = 2(a² + b²)
  • Раскроем скобки в левой части:
  • (a² + 2ab + b²) + (a² - 2ab + b²)
  • Приведем подобные слагаемые:
  • a² + a² + 2ab - 2ab + b² + b² = 2a² + 2b²
  • Вынесем общий множитель 2:
  • 2(a² + b²)
  • Левая часть равна правой. Тождество доказано.
• б) (a + b)² - (a - b)² = 4ab
  • Раскроем скобки в левой части:
  • (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²)
  • Раскроем вторую скобку, меняя знаки:
  • a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b²
  • Приведем подобные слагаемые:
  • a² - a² + 2ab + 2ab + b² - b² = 4ab
  • Левая часть равна правой. Тождество доказано.
• в) а² + b²= (a+b)²-2ab
  • Раскроем скобки в правой части:
  • (a+b)² - 2ab = (a² + 2ab + b²) - 2ab
  • Приведем подобные слагаемые:
  • a² + 2ab - 2ab + b² = a² + b²
  • Правая часть равна левой. Тождество доказано.
• г) (a + b)² - 2b(a + b) = a²-b²
  • Раскроем скобки в левой части:
  • (a² + 2ab + b²) - (2ab + 2b²)
  • Раскроем вторую скобку, меняя знаки:
  • a² + 2ab + b² - 2ab - 2b²
  • Приведем подобные слагаемые:
  • a² + 2ab - 2ab + b² - 2b² = a² - b²
  • Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождества доказаны путем алгебраических преобразований.