1. Два автомобиля одновременно отправляются в 714-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 16 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Краткая запись:

• Расстояние (S): 714 км
• Разница в скорости: 16 км/ч
• Разница во времени: 2 часа
• Найти: Скорость первого автомобиля (v₁) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вводим переменные. Пусть v₁ — скорость первого автомобиля, а v₂ — скорость второго.
2. Шаг 2: Записываем связь между скоростями: v₁ = v₂ + 16.
3. Шаг 3: Записываем время в пути для каждого автомобиля. Время = Расстояние / Скорость.
• Время первого автомобиля: t₁ = 714 / v₁
• Время второго автомобиля: t₂ = 714 / v₂
4. Шаг 4: Записываем связь между временами: t₂ = t₁ + 2 (второй приехал на 2 часа позже).
5. Шаг 5: Подставляем выражения для времени: 714 / v₂ = 714 / v₁ + 2.
6. Шаг 6: Теперь подставляем v₁ = v₂ + 16 во второе уравнение:
   714 / v₂ = 714 / (v₂ + 16) + 2.
7. Шаг 7: Решаем полученное уравнение. Приведем к общему знаменателю:
   \( \frac{714}{v_2} - \frac{714}{v_2 + 16} = 2 \)
   \( \frac{714(v_2 + 16) - 714v_2}{v_2(v_2 + 16)} = 2 \)
   \( \frac{714v_2 + 11424 - 714v_2}{v_2^2 + 16v_2} = 2 \)
   \( \frac{11424}{v_2^2 + 16v_2} = 2 \)
   \( 11424 = 2(v_2^2 + 16v_2) \)
   \( 5712 = v_2^2 + 16v_2 \)
   \( v_2^2 + 16v_2 - 5712 = 0 \).
8. Шаг 8: Решаем квадратное уравнение. Дискриминант D = b² - 4ac = \( 16^2 - 4(1)(-5712) = 256 + 22848 = 23104 \). \( \sqrt{23104} = 152 \).
   \( v_2 = \frac{-16 \pm 152}{2} \).
   Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень:
   \( v_2 = \frac{-16 + 152}{2} = \frac{136}{2} = 68 \) км/ч.
9. Шаг 9: Находим скорость первого автомобиля:
   v₁ = v₂ + 16 = 68 + 16 = 84 км/ч.

Ответ: 84 км/ч